线性代数是数学的其中一个分支。主要研究向量、向量空间（线性空间）、线性变换及有限维度的线性方程组。[1] 线性指的是线性关系，即两个或多个变量（数学元素）间的关系程一次形式。例如：n元一次方程组、形如 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 的函数关系等。代数 指的是用符号代替具体数值进行计算，化具体为抽象。
本提纲基于教材《工程数学线性代数（第六版）》（同济大学数学系），采用其表述及顺序。
行列式
- 行列式是一个数
- 区别于矩阵，矩阵是一个数表
二阶行列式
- 计算式共4项
- 明确每项的特点
- 不同行不同列元素乘积
- 明确项与项之间的组合
- 加法或减法
三阶行列式
- 速算法
- 各主对角线方向的三个项 减去 各副对角线方向的三个项
逆序数：判断项的正负
- n阶排列
- n个数
- 逆序
- 大数在前小数在后
- 逆序数
- 逆序的总数
- 奇/偶排列
- 逆序数奇/偶
- 逆序数为0时是偶排列
- 怎么算
- 选定当前的数
- 找当前数后面比他小的数的个数
- 依次向后进行这个操作，直到最后一个数
- 作和
- t(31542)=2+0+2+1=5
n阶行列式
- 利用逆序数写出项
- 注意判断正负的方法：尽量将行标写成递增的，这样就只用算列标的逆序数
- 共有 n! 项
性质
- 矩阵的行列式 与其转置矩阵的行列式 值相等
- 某行有公因数k，可将k提出行列式外
- 两行互换，行列式值变号
- 两行相同，行列式值为0
- 两行成比例，行列式值为0
- 一行是两数之和，可拆成两个行列式相加
- 某行k倍加到另一行，行列式值不变
重要公式
- 主对角线/上三角/下三角行列式
- 结果是主对角线上元素的乘积
- 副对角线/副对角线上三角/副对角线下三角行列式
- 副对角线上元素的乘积，并计算符号正负
- 拉普拉斯公式
- 副对角线拉普拉斯公式，m、n为A、B的行数
- 范德蒙行列式
- 爪形行列式
- 一般变成上三角/下三角行列式
计算规律
- 数字型：行列式中的每个元素都是确定的数字
- ！考虑展开公式
- 常用的恒等变形
- 某行k倍加到另一行，行列式值不变
- 将每一行（的倍数）都加到第一行
- 逐行相加：L2+L3->L2，L1+L2->L1
- 抽象型：行列式中有未知数，需要求未知数的值/范围
- ！除了考虑行列式性质外还要考虑矩阵的性质
- 各种行列式的恒等变形
- 矩阵性质
- 1 2 3
- 4
- 注意|A|=0的特殊情况，此时等式也成立，但是恒等，无法用于计算或证明
- 5 6
- 7
- 1 2 3
- 单位矩阵的恒等变形
- 特征值性质
- 相似矩阵性质
应用
- 特征多项式
- 克拉默法则
- 矩阵的秩