数学高等数学
, , , ,

函数与极限

函数

  • 函数定义
  • 复合函数
    • 注意内层值域=外层定义域
    • 不是任意函数都能复合
  • 反函数
    • 注意y到x要一一对应
    • 性质
  • 初等函数
    • 基本初等函数
      • 幂函数
      • 指数函数
      • 对数函数
      • 三角函数
      • 反三角函数
    • 其他初等函数
      • 由常数或基本初等函数构成
      • 由加减乘除或复合运算连接
      • 能由一个解析式表示
  • 函数性质
    • 单调性
      • 单调增
      • 单调不减
        • 可出现水平线
      • 单调减
      • 单调不增
      • 性质
        • 注意是严格大于/小于还是大于等于/小于等于
      • 应用
        • 根的个数
        • 不等式
      • 判定
        • 定义法
        • 导数法
    • 奇偶性
      • 性质
      • 应用
        • 泰勒展开
          • 奇函数 在 x=0 的 泰勒展开式中 没有偶次项
          • 偶函数 在 x=0 的 泰勒展开式中 没有奇次项
        • 原函数
          • 连续的奇函数 原函数都是偶函数
          • 连续的偶函数 原函数之一是奇函数
            • 函数的原函数有无限多个
            • 当引入的常数项 C 为 0（最简单的反函数）时，连续偶函数的原函数 f(t) 是奇函数 image-20230301142214414
            • 倒推积分时，注意奇函数的积分下限只能是0
    • 周期性
      • 常见的周期函数 image-20230301142321368
        • 出现三角函数，往往就暗示需要用到周期性
      • 周期性的判定
        • 定义法
        • 周期函数可导，则导函数也是周期函数
        • 周期函数的 原函数 不一定是周期函数
          • 当周期函数在一个周期上的积分为0时，其原函数是周期函数
          • 反向也成立：若周期函数的原函数是周期函数，则当前周期函数在一个周期上的积分必为0

极限

  • “三基”

    • 基本概念
    • 基本理论
    • 基本方法

  • 常考题型

  • 概念、理论
    - 极限的概念、性质及存在准则

  • 方法

    • 求极限
    • 确定极限中的参数
    • 无穷小量阶的比较

  • 概念

  • 数列极限 image-20230301143152958
    - 几何意义：数列项值的点落在极限的某个邻域区间内
    - 数列有极限，则数列的部分列也有极限

    • 特殊情况：奇数项极限存在、偶数项极限存在、两个极限相等，则数列极限存在且也相等；反向成立
      • [[TODO]]

  • 函数极限
    - 自变量趋向无穷值 image-20230301162132633

    • 注意趋于无穷的情况：实际上是指绝对值趋于正无穷
      - 自变量趋向有限值 image-20230301162211277
    • 注意：趋向的点可以没有定义，但点周边的邻域必须处处有定义

  • 无穷小

  • 性质

    • 有限个无穷小的和是无穷小
    • 有限个无穷小的积是无穷小
    • 无穷小和有界量的乘积是无穷小

  • 无穷大

  • 概念：绝对值要多大有多大

  • 无穷大的比较

    • 不讨论无穷大的高阶、低阶问题
    • x趋于正无穷时，对数函数$\ln{x}$ < 幂函数 $x^a$ < 指数函数$a^x$
    • n趋于正无穷时，对数数列$\ln{n}$ < 幂数列$n^a$ < 指数数列$a^n$ < 阶乘数列$n!$ < $n^n$

  • 无穷大和无界变量关系

    • 无穷大：n很大时$x_n$绝对值都很大，强调持续
    • 无界变量：n很大时存在一个$x_n$绝对值很大，强调存在
    • 无穷大一定无界，无界不一定无穷大
    • 两个数列：无穷大x无穷大=无穷大；无界x无界≠无界
评论